Educational-codeforce-Round174题解

A Was there an Array?

观察题目发现如果给定的B[i] = 1, 左右都得是相等的， 如果出现了连续三个数字( i - 1, i , i + 1 ) 对应是 1 0 1，则有 a[i - 1] = a[ i ], a[ i ] = a[i + 1],  得出 a[i - 1] = a[i + 1], 但是i == 0 又推出 a[i - 1] != a[i + 1]矛盾，所以只需要判断一下是否出现了这种结构即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using i64 = long long;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n + 1), b(n + 1);
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        cin >> b[i];
    }   

    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (b[i] == 0 && b[i - 1] == 1 && b[i + 1] == 1) {
            cout << "No\n";
            return;
        }
    }
    cout << "Yes\n";
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;

    while(t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

B. Set of Strangers

观察到如果出现有相邻的相同数字，则对应数字需要操作两次才能变成另外一个数字，如果没有出现相邻，那么同一种数字总是需要1次即可完成操作，

暴力统计每个数字需要的操作次数，取最小的 n - 1 次累计求和就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using i64 = long long;
int way[4][2] = { 1, 0, -1, 0, 0, 1, 0, -1 };
void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    vector a(n + 1, vector<int> (m + 1)), vis(n + 1, vector<int> (m + 1));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }   

    map<int, int> mp;
    bool f = 0;
    auto dfs = [&](auto self, int x, int y, int g) -> void {
        vis[x][y] = 1;
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int dx = x + way[i][0];
            int dy = y + way[i][1];
            if (dx <= 0 || dy <= 0 || dx > n || dy > m || vis[dx][dy] || a[dx][dy] != g) continue;
            f = 1;
            self(self, dx, dy, g);
        }
    };

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (!vis[i][j]) {
                f = 0;
                dfs(dfs, i, j, a[i][j]);
                if (f) {
                    mp[a[i][j]] = 2;
                } else {
                    if (!mp.count(a[i][j])) {
                        mp[a[i][j]] = 1;
                    }
                }
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    vector<int> b;
    for (auto [x, y] : mp) {
        b.push_back(y);
    }
    sort(b.begin(), b.end());
    for (int i = 0; i < b.size() - 1; i++) {
        ans += b[i];
    }
    cout << ans << '\n';
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;

    while(t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}

C. Beautiful Sequence

我的思路：

题目要求Beautiful序列满足以下条件：

左侧条件：除第一个元素外，每个元素左侧存在一个比它小的元素。
右侧条件：除最后一个元素外，每个元素右侧存在一个比它大的元素。

当元素只能取1、2、3时，序列结构必为 [1, 2, ..., 2, 3]，原因如下：

首元素必须为1

若首元素为2或3，后续元素无法满足左侧条件（如首元素为2时只能接3，但长度不足；首元素为3时无后续元素）。

末元素必须为3

若末元素非3（如1或2），倒数第二个元素无法满足右侧条件（如末元素为2时，右侧无更大元素）。

中间元素必须全为2

中间元素不能为1（左侧无更小元素）或3（右侧无更大元素），因此只能由2构成，且至少包含一个2（长度≥3）。

综上，Beautiful序列的结构必为：

[ 1 2 2 2 … 3 ]

统计所有满足条件的子序列： 1. 选择一个1的位置`i`作为首元素。 2. 选择一个3的位置`j`（`j > i`）作为末元素。 3. 中间区间`(i, j)`中至少有一个2，且所有元素为2。设区间`(i, j)`中有`c`个2，则中间部分的子序列组合数为： $$ 2^c - 1 $$ 总答案为所有`(i, j)`对的组合数之和： $$ \text{ans} = \sum_{\substack{i: a[i]=1}} \sum_{\substack{j>i: a[j]=3}} \left(2^{\text{\#}\{k \in (i,j): a[k]=2\}} - 1\right) $$ --- ### 前缀和数组定义前缀和数组`P`，其中： $$ P[i] = \text{数组前}i\text{个元素中2的个数} $$ 区间`(i, j)`中2的数量为： $$ P[j-1] - P[i] $$ ### 优化内层求和将内层求和转换为线性遍历： - 对于每个位置`j`（`a[j]=3`），计算`X = P[j-1]`。 - 累加所有`i < j`且`a[i]=1`的贡献： $$ \sum_{\substack{i: a[i]=1 \\ i < j}} \left(2^{X - P[i]} - 1\right) $$ 通过分解公式： $$ 2^{X - P[i]} = 2^X \cdot 2^{-P[i]} $$ 定义累加量： - `sumInv`：所有左侧1对应的`2^{-P[i]`之和。 - `cntOne`：左侧1的个数。则当前`j`的贡献为： $$ 2^X \cdot \text{sumInv} - \text{cntOne} $$ ### 实现步骤 1. **遍历数组**，维护前缀和`P`。 2. **遇到1时**：更新`cntOne`和`sumInv += 2^{-P[i]}`。 3. **遇到3时**：根据当前`X = P[j-1]`计算贡献并累加。 ---

总结

结构限制

Beautiful序列严格遵循[1, 2, ..., 2, 3]形式，中间至少一个2。

计数公式

每个合法的(i, j)对贡献为2^{中间2的个数} - 1。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
const int mod = 998244353;

template<class T>
constexpr T power(T a, i64 b, T mod) {
    T res = 1;
    for (; b; b /= 2, a = a * a % mod) {
        if (b % 2) {
            res = (res * a) % mod;
        }
    }
    return res;
}

const int N = 200005;
vector<i64> pow2(N), inv(N);

i64 inv2 = power<i64>(2, mod - 2, mod);

void solve() {
    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    vector<int> P(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        P[i] = P[i - 1] + (a[i] == 2);
    }

    i64 one = 0, sum = 0, ans = 0;
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        if (a[j] == 1) {
            one = (one + 1) % mod;
            sum = (sum + inv[P[j]]) % mod;
        } else if (a[j] == 2) {

        } else {
            int X = P[j - 1];
            i64 g = ((pow2[X] * sum) % mod - one) % mod;
            if (g < 0) g += mod;
            ans = (ans + g) % mod;
        }
    }
    cout << ans % mod << "\n";
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;

    pow2[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        pow2[i] = (pow2[i - 1] * 2) % mod;
    }

    inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        inv[i] = (inv[i - 1] * inv2) % mod;
    }

    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}

题解dp思路 :
等我看完了再update

D. Palindrome Shuffle

首先知道前后本来就回文的字母可以先移除，所以只需要处理一个前后两个字母不一样的字符串即可，那么问题就变成处理一个字符串S，只能重新排列S的某个前缀或者后缀子串使得它变成Palindrome

来看样例4 :

1	acbacddacbca

可以看出需要再4 - 5进行操作，那么也可以在 4 - 6, 4 - 7 等等长度大于他的子串（只需要包含他）进行操作，即长度具有单调性，可以使用二分答案。

我们处理从前开始翻转情况，那么从后开始翻转情况可以reverse后套用从前面开始的情况进行操作。

check函数：

首先统计待处理字符串中每个字母出现的次数，之后分两种情况 :

情况一： L（左字符串起始位置） + len - 1 <= n / 2
此时和样例4一样，需要在len范围内前缀和后缀里面的所有字符数量相同，同时保证没操作到的字符本来就是回文的（可以多开一个数组预处理记录，看代码is, ned部分）
- 情况二： L（左字符串起始位置） + len - 1 > n / 2
  只需要左边的每个字符数量全部大于或等于右边剩下的即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using i64 = long long;

void solve() {
    string s;
    cin >> s;

    s = ' ' + s;

    int n = s.size() - 1;
    int l = 1, r = n;
    while (s[l] == s[r] && l <= r) {
        l++, r--;
    }

    if (l > r) {
        cout << 0 << '\n';
        return;
    }

    vector<int> c(27 + 1);
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        c[s[i] - 'a']++;
    }

    vector<int> is(n + 1), ned(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
        if (s[i] != s[n - i + 1]) {
            is[i] = 1;
        }
    }

    for (int i = n / 2 - 1; i >= 1; i--) {
        if (is[i + 1] == 1 || ned[i + 1]) {
            ned[i] = 1;
        }
    }

    auto ck = [&](int len) -> bool {
        vector<int> g(28);
        for (int i = l; i <= l + len - 1; i++) {
            g[s[i] - 'a']++;
        }

        if (l + len - 1 <= n / 2) {
            for (int i = r; i >= r - len + 1; i--) {
                g[s[i] - 'a']--;
            }

            for (int i = 0; i < 26; i++) {
                if (g[i] != 0) {
                    return false;
                }
            }

            if (ned[l + len - 1]) {
                return false;
            }
            return true;
        } else {
            for (int i = 0; i < 26; i++) {
                if (c[i] - g[i] > g[i]) {
                    //cout << len << ' ' << char(i + 'a') << '\n';
                    return false;
                }
            }
            return true;
        }
    };

    int lo = 2, ri = r - l;
    while (lo <= ri) {
        int mid = (lo + ri) >> 1;
        if (ck(mid)) {
            ri = mid - 1;
        } else {
            lo = mid + 1;
        }
    }
    int ans = lo;

    reverse(s.begin() + 1, s.end());
    n = s.size() - 1;
    l = 1, r = n;
    while (s[l] == s[r] && l <= r) {
        l++, r--;
    }

    if (l > r) {
        cout << 0 << '\n';
        return;
    }

    vector<int> h(27 + 1);
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        h[s[i] - 'a']++;
    }

    vector<int> is2(n + 1), ned2(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n / 2; i++) {
        if (s[i] != s[n - i + 1]) {
            is2[i] = 1;
        }
    }

    for (int i = n / 2 - 1; i >= 1; i--) {
        if (is2[i + 1] == 1 || ned2[i + 1]) {
            ned2[i] = 1;
        }
    }

    int ll = 2, rr = r - l;
    while (ll <= rr) {
        int mid = (ll + rr) >> 1;
        if (ck(mid)) {
            rr = mid - 1;
        } else {
            ll = mid + 1;
        }
    }

    ans = min(ans, ll);
    cout << ans << '\n';
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int t;
    cin >> t;

    while(t--) {
        solve();
    }

    return 0;
}