最大流 | 梦始

求解从源点s到汇点t的最大流量问题

Fold - fulkerson
依赖一个残留网络，每次更新一条从源点到汇点的路径的流量，在更新的时候同时在残留网络建立对应边的反边，直到残留网络没有从s - t的边，

最大流最小割定理
一个流是最大流，当且仅当他的残留网络不包含增广路径

Edmonds-Karps

对于Fold - fulkerson算法，虽然可以正确的找到他的最大流，但是他的时间复杂度依赖于边的权，比如《算法竞赛》 P666，

对于Fold - fulkerson改进，使用bfs，每次找到最短的增广路径，对该路径进行计算，可以大大优化时间复杂度, 一次bfs的时间复杂度是 o ( m ) , 对于bfs，增广要处理n个点， m条边，故时间复杂度为 o ( nm ), 综合起来时间复杂度是o ($n ^ 2 * m$)

代码 :

先放一个jiangly代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

constexpr int inf = 1e9;
template<class T>
struct MaxFlow {
    struct _Edge {
        int to;
        T cap;
        _Edge(int to, T cap) : to(to), cap(cap) {}
    };

    int n;
    std::vector<_Edge> e;
    std::vector<std::vector<int>> g;
    std::vector<int> cur, h;

    MaxFlow() {}
    MaxFlow(int n) {
        init(n);
    }

    void init(int n) {
        this->n = n;
        e.clear();
        g.assign(n, {});
        cur.resize(n);
        h.resize(n);
    }

    bool bfs(int s, int t) {
        h.assign(n, -1);
        std::queue<int> que;
        h[s] = 0;
        que.push(s);
        while (!que.empty()) {
            const int u = que.front();
            que.pop();
            for (int i : g[u]) {
                auto [v, c] = e[i];
                if (c > 0 && h[v] == -1) {
                    h[v] = h[u] + 1;
                    if (v == t) {
                        return true;
                    }
                    que.push(v);
                }
            }
        }
        return false;
    }

    T dfs(int u, int t, T f) {
        if (u == t) {
            return f;
        }
        auto r = f;
        for (int& i = cur[u]; i < int(g[u].size()); ++i) {
            const int j = g[u][i];
            auto [v, c] = e[j];
            if (c > 0 && h[v] == h[u] + 1) {
                auto a = dfs(v, t, std::min(r, c));
                e[j].cap -= a;
                e[j ^ 1].cap += a;
                r -= a;
                if (r == 0) {
                    return f;
                }
            }
        }
        return f - r;
    }
    
    void addEdge(int u, int v, T c) {
        g[u].push_back(e.size());
        e.emplace_back(v, c);
        g[v].push_back(e.size());
        e.emplace_back(u, 0);
    }
    
    T flow(int s, int t) {
        T ans = 0;
        while (bfs(s, t)) {
            cur.assign(n, 0);
            ans += dfs(s, t, std::numeric_limits<T>::max());
        }
        return ans;
    }

    std::vector<bool> minCut() {
        std::vector<bool> c(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            c[i] = (h[i] != -1);
        }
        return c;
    }

    struct Edge {
        int from;
        int to;
        T cap;
        T flow;
    };
    std::vector<Edge> edges() {
        std::vector<Edge> a;
        for (int i = 0; i < e.size(); i += 2) {
            Edge x;
            x.from = e[i + 1].to;
            x.to = e[i].to;
            x.cap = e[i].cap + e[i + 1].cap;
            x.flow = e[i + 1].cap;
            a.push_back(x);
        }
        return a;
    }
};

待会自己写一个，用临界矩阵先写一个EK的

Dinic

对于FF的优化，由于FF每次都需要随机找到一条增广路径，而Dinic将图分层次之后，每次找增广路径只能找到这条路和下一条路的路径，这样极大优化了时间

const int inf = 1e9 + 7;
template<class T>
struct MaxFlow {
    const int n;
    struct Edge {
        int v;
        T cap;
        Edge(int v, T cap) : v(v), cap(cap) {}
    };

    vector<Edge> e;
    vector<vector<int>> g;
    vector<int> dep, cur;

    MaxFlow(int n) :n(n), g(n) {}

    bool bfs(int s, int t) {
        dep.assign(n, -1);
        queue<int> q;
        q.push(s);
        dep[s] = 0;
        while (!q.empty()) {
            int u = q.front();
            q.pop();
            for (auto i : g[u]) {
                auto [v, c] = e[i];
                if (c > 0 && dep[v] == -1) {
                    dep[v] = dep[u] + 1;
                    q.push(v);
                    if (v == t) return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }

    T dfs(int u, int t, T flow) {
        if (u == t) return flow;
        T sum = 0;
        for (int i = cur[u]; i < g[u].size(); i++) {
            cur[u] = i;
            int j = g[u][i];
            auto& [v, c] = e[j];
            if (dep[v] == dep[u] + 1 && c > 0) {
                T f = dfs(v, t, min(c, flow));
                e[j].cap -= f;
                e[j ^ 1].cap += f;
                sum += f;
                flow -= f;
                if (flow == 0) break;
            }
        }
        if (sum == 0) dep[u] = 0;
        return sum;
    }

    T dinic(int s, int t) {
        T F = 0;
        while (bfs(s, t)) {
            cur.assign(n, 0);
            F += dfs(s, t, inf);
        }
        return F;
    }

    void add(int u, int v, T c) {
        g[u].push_back(int(e.size()));
        e.emplace_back(v, c);
        g[v].push_back(int(e.size()));
        e.emplace_back(u, 0);
    }
};

加入了当前弧优化，使得效率更高